Approximation of Holomorphic Functions in the Complex Plane

Abstract

This thesis is a study of approximation of holomorphic functions, by polynomials, rational functions or entire functions. Hörmander's $L^2$ existence theorem for the Cauchy-Riemann operator is proved and used to prove a generalization of the Bernstein-Walsh theorem, which describes the equivalence between possible holomorphic continuation of a function $f$ in a neighbourhood of a compact set $K$ in terms of the decay of the sequence $(d_n(f,K))$ of best approximations of $f$ by polynomials of degree less than or equal to $n$. The generalization uses the best approximation of $f$ by rational functions with poles in a prescribed set instead of polynomials. A theorem of Vitushkin is proved. It characterizes in terms of analytic capacity the compact sets $K$ having the property that every function $f$, continuous on $K$ and holomorphic in the interior of $K$, can be approximated uniformly on $K$ by rational functions. Finally, Mergelyan's theorem is used to prove a generalization of Arakelian's theorem, which describes uniform approximation of holomorphic functions on possibly unbounded sets by entire functions.

Þessi ritgerð fjallar um nálganir á fáguðum föllum, með margliðum, ræðum föllum eða heilum föllum. $L^2$-tilvistarsetning Hörmanders fyrir Cauchy-Riemann virkjann er sönnuð og hún er notuð til þess að sanna alhæfingu á setningu Bernstein-Walsh, sem lýsir jafngildi milli mögulegrar fágaðar framlengingar á falli $f$ á opinni grennd við þjappað hlutmengi $K$ og runu bestu nálgana $(d_n(f,K))$ á $f$ með margliðum af stigi minna eða jöfnu $n$. Alhæfingin notar bestu nálganir á $f$ með ræðum föllum með skaut í gefnu mengi.Setning Vitushkins er sönnuð, en hún lýsir hvernig fáguð rýmd mengis er notuð til þess að auðkenna þjöppuð mengi $K$ með þann eiginleika að sérhvert fall $f$, samfellt á $K$ og fágað á innmengi $K$, megi nálga í jöfnu mæli á $K$ með ræðum föllum. Að lokum er setning Mergelyans beitt til þess að sanna alhæfingu á setningu Arakelians, sem lýsir nálgun í jöfnum mæli á fáguðum föllum á ótakmörkuðum mengjum með heilum föllum.