Veik grannmynstur á Banach rúmum

Abstract

Við byrjum á að skilgreina veika og veika* grannmynstrið og kynnast grundvallareiginleikum þeirra. Sérstök áhersla verður lögð á þjappleika. Við sönnum setningu Banachs og Alaoglu um að einingarkúla tvírúms sé þjöppuð í veika* grannmynstrinu og svo kynnumst fleiri áhugaverðum eiginleikum veika og veika* grannmynstursins. Við skoðum sjálfhverf Banach rúm og sönnum setningu Milman og Pettis um að Banach rúm sem eru kúpt í jöfnum mæli séu sjálfhverf. Við sönnum ójöfnur Clarkson til að sýna að \(L_p\) rúmin, \(1 < p < +\infty\), séu kúpt í jöfnum mæli og þar með að þau séu sjálfhverf. Eins sönnum við að Hilbert rúm séu sjálfhverf með því að sýna að þau séu kúpt í jöfnum mæli. Loks verða tengsl sjálfhverfu og þjappleika skoðuð. Við sönnum setningu Kakutani, setningu Eberlein og Šmulian og gerum stuttlega grein fyrir hagnýtingu.