Random Polynomials and Convex Bodies

Abstract

This thesis examines how three results in pluripotential theory can be generalized by replacing the usual polynomials with polynomials with respect to a convex body. The thesis introduces the concepts and results from pluripotential theory, then the various established generalizations, followed by their synthesis and, as its first result, a demonstration of a generalized link between Bergman kernels of a weighted polynomial space with respect to a convex body and pluricomplex Green functions. This result is then applied to reveal the asymptotic relation between a certain set of random polynomials and a pluricomplex Green function, which comprises the second result. Finally, the first result is again used to demonstrate how a certain set of random polynomials is related asymptotically to a pluricomplex Green function, similar to the second result, but from the perspective of the examination of the relationship in the weak sense of currents after a particular partial differential operator has been applied.

Þessi ritgerð skoðar hvernig má alhæfa þrjár niðurstöður í fjölmættisfræði með því að skipta út venjulegu margliðunum fyrir margliður með tilliti til kúpts þykkva. Ritgerðin kynnir hugtök og niðurstöður úr fjölmættisfræði, sem og ýmsar þekktar alhæfingar, og sameinar þær og sýnir sem fyrstu niðurstöðu fram á alhæfða tengingu milli Bergman kjarna af vigtuðu margliðurúmi með tilliti til kúpts þykkva og Green-falla í mörgum tvinnbreytistærðum. Þessari niðurstöðu er svo beitt til að varpa ljósi á tengsl ákveðins mengis af slembimargliðum og Green-fallsins, sem er önnur niðurstaðan. Að lokum er fyrsta niðurstaðan aftur notuð til að sýna fram á hvernig ákveðið mengi af slembimargliðum gefur Green-fallið sem markgildi, eins og í seinni niðurstöðunni, en út frá því sjónarmiði að kanna sambandið í veikum skilningi strauma eftir að ákveðnum hlutafleiðuvirkja hefur verið beitt.