Extending risk-neutral densities : a theoretical and practical framework for risk-neutral valuation of path dependent options

Abstract

Probability theory remains fundamental to the valuation of financial derivatives. It can be approached in two distinct manners when assessing future asset prices. Traditional models, such as the Black-Scholes model, typically rely on backward-looking methods which assign probabilities based on the historical performance of the asset and various assumptions. In contrast, forward-looking approaches aim to extract market implied probabilities of prices at future dates directly from current market prices of options that are set to mature on those future dates. This thesis offers a comprehensive theoretical review of Risk-Neutral Density functions (RNDs), valuation of both standard options and path dependent options as well as the nature of the relationship between RNDs and option prices. Three types of methods for RND derivation are reviewed, namely, parametric, non-parametric and semi-parametric methods. Additionally, a new method of pricing path dependent option is introduced. The first step of the proposed method consists of deriving RNDs for an underlying asset at dates where options available on the markets are maturing. These RNDs are then extended to an implied stochastic process in the form of a semi-recombining binomial tree. Lastly, path dependent options can be priced by simulation of paths through the tree. The proposed method, which synthesizes existing methodologies, will require thorough testing to evaluate its effectiveness and practical viability.

Að verðmeta fjármálaafleiður getur verið afar flókið og geta líkindafræði skipt sköpum. Það eru einkum tvær ólíkar aðferðir sem byggja má á þegar framtíðarvirði eigna er metið. Annars vegar eru aðferðir sem byggja á hefðbundnum líkönum á borð við Black-Scholes líkanið, sem byggja alla jafna á upplýsingum úr fortíð eignarinnar og öðrum fyrirfram gefnum forsendum, sem ákvarða líkur á framtíðarvirði eignarinnar. Hins vegar eru aðferðir sem horfa fram á veginn og byggja vænta líkindadreifingu markaðarins á framtíðarvirði eigna á tilteknum framtíðardagsetningum út frá markaðsverðum valrétta sem gera skal upp á viðkomandi dagsetningum. Í þessari ritgerð er farið með ítarlegum og fræðilegum hætti yfir aðferðir til að komast að væntum líkindadreifingum markaðarins á framtíðarvirði eignar, verðlagningu hefðbundinna og ferilsháðra valrétta sem og eðli sambands væntra líkinda og verðmats valrétta. Fjallað er um þrjár tegundir aðferða, þ.e. stikaðar, óstikaðar og hálfstikaðar aðferðir. Auk þess er kynnt nýstárleg aðferð til að verðmeta ferilsháða valrétti. Fyrsta skref nýju aðferðarinnar er að leiða út vænta líkindadreifingu undirliggjandi eignar á uppgjörsdögum afleiðna á markaði. Næsta skref er að útvíkka þessar væntu dreifingar í vænt slembiferli í formi hálf-endursamsetjanlegs tvíkosta líkans. Lokaskrefið er að verðleggja ferilsháða valréttinn með því að framkvæma hermun ferlanna í líkaninu. Þess skal getið að nýja aðferðin, sem sameinar ýmsar þekktar aðferðir, þarfnast ítarlegri prófunar til að unnt sé að meta nákvæmni og notagildi hennar.