Sjálfmótanagrúpur þekjutrjáa

Abstract

Við lýsum einföldum eiginleikum sjálfmótana á trjám og flokkum grúpuverkanir á tré. Við skilgreinum frjálst margfeldi grúpa og lýsum einföldum eiginleikum þess. Við reifum tengsl frjálsra grúpa og trjáa, sem að leiðir til sönnunar á því að grúpa verkar frjálst á tré ef og aðeins ef hún er frjáls. Við skilgreinum þekjutré, sönnum tilvist þeirra og sýnum að þau eru nokkurn veginn einkvæm. Loks sönnum við setningu Tits um kvótagrúpu sjálfmótanagrúpu þekjutrés með hlutgrúpunni sem er spönnuð af sjálfmótunum sem festa leggi.

We describe some basic properties of automorphisms of trees, and provide a classification of automorphisms and group actions on trees. We define the free product of groups and describe basic properties of it. We discuss connections between free groups and trees, which culminates in a proof of the fact that a group acts freely on a tree if and only if it is free. We define covering trees, prove that they exist and show that they are essentially unique. Finally, we prove Tits' Theorem on the structure of the quotient group of the group of automorphisms of a covering tree by the subgroup generated by edge-stabilizers.